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摘要：貝葉斯預測與動態模型是 70 年代發展起來的一套新的時間序列分析方法，其中單變量貝葉斯正態動態線性模型 ( ) 在實際應用中最為常見和重要。在應用中，通常假設觀察到的誤差方差是一個未知常數，其值由建模開始時的估計給出。一般的做法是通過專家經驗給出具體問題，沒有統一有效的方法。針對這種情況，本文提出了一種簡單易用的觀測誤差方差值估計方法。同時，通過數值實驗證明了新方法的有效性，為該類型的應用帶來了便利。

關鍵詞：動態線性模型時間序列貝葉斯預測

作者簡介：李衛華、徐宗本、范金成，西安交通大學理學院信息與系統科學研究所，陜西西安

介紹

時序數據是按時間順序排列、隨時間變化、相互關聯的數據序列。它廣泛存在于工程、經濟學等各個領域，如某只股票的日交易量、季度經濟總量、某地每月用電量等。隨著計算機技術的發展，尤其是著名統計學家 Box He 在 1968 年開發了一套用于隨機時間序列的模型識別、參數估計和診斷測試的經典建模方法 [1] 以來，時間序列分析的發展已經很快，在氣象、天文、電力、生物、經濟金融等各個領域得到了廣泛的應用，并日益顯示出強大的生命力和重要性，

該過程的貝葉斯預測最早是由英國統計學家 PJ 和 CF 在 1976 年在皇家統計學會因需要預測意外事件而提出的[2]。很少有專家學者從事這方面的研究，并建立了較為完整的理論和應用體系[3-5]。該方法已成功應用于國際匯率預測[6]、網絡安全[7]、大壩數據監測[8]等領域，日益展現出廣闊的應用前景。

貝葉斯預測是指基于貝葉斯統計原理的預測。它與傳統預測的區別在于在統計推斷中使用先驗分布。盡管像其他預測方法一樣需要建模，但貝葉斯預測通常基于以下形式的動態線性模型：

與傳統的Box-時間序列分析方法相比，貝葉斯預測有很多優點：一是不需要數據平穩性的假設；其次，它不僅依賴于客觀的數據和模型，而且重視專家的經驗，這體現在最初的先驗信息上。這樣，當模型不能反映突發事件時，利用預測者的主觀意見和模型的監測機制對模型進行干預和監測，以提高預測的準確性。

尤其是當

是一維數據，并且

,

和

當都服從正態分布時，公式(1)和公式(2))是一元貝葉斯正態動態線性模型()，是應用中最常見也是最重要的一類模型，其基礎理論比較完善[3]，應用范圍也很廣，在應用中，通常假設觀測誤差方差是一個未知常數，其值是在建模之初通過估計給出的。 ，筆者注意到一般做法是由專家在不同應用問題上的主觀經驗給出的，并沒有統一有效的方法，針對這種情況，筆者利用時序樣本信息給出了一個簡單而有效的方法。易于使用的估計方法。數值實驗說明了作者s 該方法是有效的，為更好地應用該類解決實際問題提供了方便。

一、單變量貝葉斯動態線性模型

（一）貝葉斯預測的基本原理

貝葉斯預測包括許多傳統的預測方法，如線性回歸、指數平滑和線性時間序列模型，它們是貝葉斯動態模型和預測的特例。與傳統的預測方法不同[3]，貝葉斯預測不僅利用過去的數據信息，還包括人為因素，人負責預測并提供信息，根據異常管理原則進行預測是貝葉斯的基本原則之一預測。. 它利用客觀和主觀信息的結合進行預測，因此可以處理異常情況的發生。所謂異常情況或異常情況有兩種方式：第一種情況是基于對未來事件的了解，并且可以預見異常事件的發生。比如有信息說今年年底要建新廠，所以用電需求會增加，用電需求增加的問題可以預料，預報員要及早介入模型；第二種情況是意料之外的突然變化當一個事件發生時，針對這種情況使用監控的方法來處理模型。圖1（圖略，見原文，下同）是貝葉斯預測系統按照異常管理原理運行的示意圖。并且電力需求增加的問題是可以預料的，預報員必須及早干預模型；第二種情況是意料之外的突然變化當一個事件發生時，針對這種情況使用監控的方法來處理模型。圖1（圖略，見原文，下同）是貝葉斯預測系統按照異常管理原理運行的示意圖。并且電力需求增加的問題是可以預料的，預報員必須及早干預模型；第二種情況是意料之外的突然變化當一個事件發生時，針對這種情況使用監控的方法來處理模型。圖1（圖略，見原文，下同）是貝葉斯預測系統按照異常管理原理運行的示意圖。

貝葉斯預測的另一個基本原理是建立動態模型，將預測分布視為條件概率分布。預測器基于先驗信息。

, 找到預測分布

，并利用貝葉斯公式得到后驗信息，不斷修改先驗信息，從而得到所需的預測值。圖2（圖略）是貝葉斯預測遞歸算法的框圖，其中N指的是時間序列數據的樣本量。

(二）動態線性模型的相關結果

定理[3]的一步預測分布、后驗分布和k步前向預測分布為：

1.t-1 時刻的后驗分布

在

(三）建模方法

一般來說，商業和經濟中遇到的大多數問題都可以通過應用趨勢、季節性、回歸分量模型及其組合來模擬。在模擬時間序列時，首先考慮趨勢和季節性成分。如果只進行回顧性分析（根據當前信息分析過去的信息，例如時間序列平滑），那么這兩類組件模型就足以解決問題。可以對趨勢和季節性現象進行估計，但僅限于短期預測。當時間序列的未來變化無法通過趨勢/季節來描述時，可以添加回歸組件模型，使中短期預測更加可靠。使用幾種不同的組件模型來模擬時間序列的不同特征，

讓多項式趨勢、季節和回歸分量模型為：

二、先驗信息的選擇

在實際應用中，先估計先驗信息的值，它們包括狀態向量初始先驗均值向量

, 方差矩陣

和狀態誤差矩陣

, 本節將給出觀測誤差方差 V 的估計方法。

(一）

,

估計

關于

,

估計的最佳實踐是使用參考分析，這是一種有效的方法，可以在沒有進一步信息的情況下從模糊或無信息的初始先驗中獲得適當的后驗，并將此適當的后驗用作初始先驗。測試時間序列分析:單變量和多變量方法 pdf，遞歸。這個初始的適當的信息先驗信息對于此時的建模特別有益。從參考先驗獲得適當后驗所需的最小觀察次數是模型中未知參數的數量。當觀測誤差的方差已經估計出來時，模型中未知參數的數量等于狀態向量的維數。例如，對于線性趨勢和季度周期的組合模型，未知參數的個數等于 5，所以模型從時間序列的第六個數據開始遞歸。下面給出的是觀察誤差方差為未知常數時參考分析計算的觀察誤差方差

,

一個步驟：

(二）觀測誤差方差V值的估計

得到觀測誤差方差值V。如果需要，可以重復這個過程，詳細算法流程如圖3所示（圖略）。

圖 3 的令人滿意的情況可以認為是時間序列數據的預測在相同的置信水平下具有較小的置信區間。可見，上述方法簡單易用。在第三節中，將給出數值實驗來證明其有效性。需要注意的是，該方法的隱含條件是時間序列數據的樣本量 N 與狀態向量的維度 n 之差必須大于 1。

(三）關于狀態誤差方差矩陣的估計

三、數值測試

為了說明估計方法的有效性，分析以下產品的季度銷售數據。該數據選自參考文獻[1]，不同之處在于數據單位發生了變化。

產品的季度銷售數據

這里，時間序列數據樣本量為48（按列排序），每列代表一年四個季度的數據，共12年。建模基于趨勢+季節性模型，假設觀察到的誤差方差是未知常數，僅使用一個參考分析來對其進行估計。圖 4（圖略）是時間序列數據的一步前向預測和 90% 置信區間；圖5（圖略）為時間序列數據一步前向預測的標準誤；圖 6（圖略）表示時間序列數據預測 24 步前瞻和前瞻預測的 98% 置信區間。由于使用了參考分析，因此遞歸從第六個數據開始。從圖4可以看出，單步前向預測準確率較高；在圖 5 中時間序列分析:單變量和多變量方法 pdf，等于 30、43 和 45 個點的預測誤差較大，超過 90% 置信區間 [-1.645,1.645]，這是因為時間序列數據發生了變化在這些點上顯著，并且封閉模型沒有預測到變化。在這種情況下，需要對模型進行分析。干預，這超出了本文的范圍；圖 6 顯示，前瞻預測的置信區間隨著預測步數的增加而增加，說明預測精度在下降，因為所選模型本身適用于時間序列數據的短期預測。這是因為時間序列數據在這些點發生了顯著變化，而封閉模型并未預測到這種變化。在這種情況下，需要對模型進行分析。干預，這超出了本文的范圍；圖 6 顯示，前瞻預測的置信區間隨著預測步數的增加而增加，說明預測精度在下降，因為所選模型本身適用于時間序列數據的短期預測。這是因為時間序列數據在這些點發生了顯著變化，而封閉模型并未預測到這種變化。在這種情況下，需要對模型進行分析。干預，這超出了本文的范圍；圖 6 顯示，前瞻預測的置信區間隨著預測步數的增加而增加，說明預測精度在下降，因為所選模型本身適用于時間序列數據的短期預測。

四、結論

作者介紹了公式(3)和公式(4))，理論上很自然，結合參考分析給出了一種簡單易用的觀測誤差方差值估計方法。數值測試結果表明，所使用的方法是有效的，在實際應用中會給一大類問題帶來方便。

需要指出的是，本文的數值實驗是在封閉模型框架下進行的，可能會影響部分數據點的預測精度，因為貝葉斯的預測精度取決于模型、數據和人的主觀判斷。在封閉模型中，突發事件發生時預測精度往往較差，需要對模型進行干預和監控以體現貝葉斯預測的優越性，這就需要對數據的來源和背景有深入的了解。明白這一點在實際應用中需要強調。

最后需要說明的是，雖然這個方法是針對一元正態動態線性模型提出的，但是該方法的思想可以用來估計多元正態動態線性模型觀測的方差誤差矩陣。當然，情況要復雜得多。這將在以后討論。

參考：

1(US)Box GEP,(UK) G M.Times : and [m].2nd edn.San :-Day,1976.

2(US) West M,(UK) P J. and [M].New York:-,1989,1-99.

3 張曉玲、劉福生、張成金等。貝葉斯動態模型及其預測[M]．濟南：山東科學技術出版社，1992.

4 刁伯慶，張曉玲，雙隨機動態模型與預測[J]．山東礦業大學學報, 1990, 3(24):46-49.

5West M, P J. and [M].New York:-,1997.

6(US) JM,West M. time :new to rate data[J].The ,1987,36:275-281.

7 鐘睒睒、何明德、吳梅。基于分布式入侵檢測系統的貝葉斯動態模型研究[J]．計算機工程與應用, 2002, 21(167):1-3.

8王書玉、劉國華、劉立軍、李富強。大壩監測與分析中的貝葉斯動力學模型[J]．水利工程學報, 1998, (7):1-5.