今天，我將介紹計算機求解微分方程的六種數值方法。

1. 有限元法

有限元法的基礎是變分原理和加權余量法。基本的解決思路是將計算域劃分為有限數量的非重疊元素。在每個元素中，選擇一些合適的節點作為解函數的插值點。，將微分方程中的變量改寫為由各變量的節點值或其導數和所選插值函數組成的線性表達式，利用變分原理或加權殘差法對微分方程進行離散求解。使用不同形式的權函數和插值函數，構成不同的有限元方法。

在有限元法中，計算域被離散地劃分為有限個不重疊且相互連接的單元，在每個單元中選擇一個基函數，利用單元基函數的線性組合來逼近真實解元素。域上的整體基函數可以看成是由各個單元的基函數組成的，整個計算域上的解可以看成是所有單元上的近似解組成的。

根據所使用的權重函數和插值函數的不同，有限元法也分為各種計算格式。從權重函數的選擇上，有構形法、矩法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀劃分，包括三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值的精度函數分為線性插值函數和高階插值函數。不同的組合也構成了不同的有限元計算格式。

對于權重函數，()方法是將權重函數作為逼近函數中的基函數；最小二乘法是使權重函數等于余數本身，內積的最小值為替代系數的平方，誤差最小；在配置方法中，首先在計算域中選擇N個配置點。令近似解在選取的N個配置點處嚴格滿足微分方程，即令方程在配置點處的邊距為0。插值函數一般由不同冪的多項式組成，但也可以用三角函數或指數函數的乘積來表示，但最常用的是多項式插值函數。有限元插值函數分為兩類，一類只要求插值多項式本身在插值點取一個已知值有限單元法基本原理和數值方法，稱為拉格朗日()多項式插值；另一個不僅需要插值多項式本身，還需要它的導數。該值在插值點取一個已知值，稱為 () 多項式插值。元素坐標包括笛卡爾笛卡爾坐標系和無量綱自然坐標，包括對稱性和不對稱性。常用的無量綱坐標是局部坐標系，其定義取決于單元的幾何形狀。一維為長度比有限單元法基本原理和數值方法，二維為面積比，三維為體積比。在二維有限元中，三角元最早，四邊形等參元最近得到越來越廣泛的應用。對于二維三角形和四邊形電源單元，常用的插值函數有直角坐標系中的線性插值函數有La插值和二階或更高階的插值函數，區域坐標系中的線性插值函數，二階或更高階的插值函數，階或更高的插值函數 階插值函數等

對于有限元法，其基本思想和求解問題的步驟可以概括為

2.多重網格法

多網格方法通過在不同密度和密度的網格層上進行迭代來平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快、精度高的優點。

多重網格法的基本原理 微分方程的誤差分量可分為兩類，一類是頻率變化緩慢的低頻分量；另一種是高頻成分，頻率高，擺幅快。一般的迭代法可以快速衰減擺動誤差，但對于那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格規模有關。它們在細網格上被視為低頻分量，在粗網格上可能是高頻分量。

多重網格法作為一種快速計算方法，對離散化后由偏微分方程組成的代數方程進行迭代求解。其基本原理是一定的網格最容易消除波長和網格步長對應的誤差分量。該方法采用不同尺度的網格，不同密度和密度的網格消除了不同波長的誤差分量。首先，在細網格上使用迭代法。當收斂速度變慢時，說明誤差已經平滑，然后轉移到較粗的網格。在網格上，將本層網格對應的那些比較容易消除的誤差分量進行消除，以此類推，直至消除各種誤差分量，然后逐層回到細網格。目前的兩層網格方法在理論上已被證明是收斂的，其收斂速度與網格尺度無關。

多重網格法是迭代法和粗網格校正的結合。實踐證明，迭代法可以快速去除那些高頻分量，而粗網格校正可以幫助去除平滑后的低頻分量，而高頻分量基本不起作用。科學研究 中國在多網格計算中需要一些介質將細網格上的信息傳遞給粗網格，也需要一些介質將粗網格上的信息傳遞給細網格。限制算子Iih(i-1)h是將細網格的第i-1層上的殘差限制到粗網格的第i層的算子。最簡單的算子是平凡單射的，并且有特殊的加權限制。;

3. 有限差分法

有限差分法（FDM）是最早用于計算機數值模擬的方法，至今仍被廣泛使用。該方法將解域劃分為微分網格，并用有限數量的網格節點代替連續解域。有限差分法是利用級數展開等方法，通過函數值在網格節點上的差商將控制方程中的導數離散化，從而在網格節點上建立具有未知值的代數方程組。該方法是一種近似數值解，直接將微分問題轉化為代數問題。數學概念直觀，表達簡單。是一種較早成熟的數值方法。對于有限差分格式，根據格式的準確性，有一階格式、二階格式和高階格式。考慮到差異的空間形式，可以分為中心格式和逆格式。考慮到時間因素的影響，差分格式還可以分為顯式格式、隱式格式、顯式和隱式交替格式等。目前常見的差分格式主要是上述形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分法主要適用于結構化網格，網格的步長一般根據實際地形和穩定性條件確定。它可以分為中心格式和逆格式。考慮到時間因素的影響，差分格式還可以分為顯式格式、隱式格式、顯式和隱式交替格式等。目前常見的差分格式主要是上述形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分法主要適用于結構化網格，網格的步長一般根據實際地形和穩定性條件確定。它可以分為中心格式和逆格式。考慮到時間因素的影響，差分格式還可以分為顯式格式、隱式格式、顯式和隱式交替格式等。目前常見的差分格式主要是上述形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分法主要適用于結構化網格，網格的步長一般根據實際地形和穩定性條件確定。目前常見的差分格式主要是上述形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分法主要適用于結構化網格，網格的步長一般根據實際地形和穩定性條件確定。目前常見的差分格式主要是上述形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分法主要適用于結構化網格，網格的步長一般根據實際地形和穩定性條件確定。

構造差分的方法有很多，目前主要采用泰勒級數展開法。其基本差分表達式主要有一階前向差分、一階后向差分、一階中心差分和二階中心差分三種形式，其中前兩種格式為一階計算精度，后者為兩種格式都是二階計算精度。通過組合幾種不同的時空差分格式，可以組合不同的差分計算格式。

4. 有限體積法

有限體積法 ( ) 也稱為控制體積法。基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體，圍繞每個網格點做一個控制體；對每個控制體積待求解的微分方程進行積分，得到一組離散方程。其中未知數是網格點處因變量的數值。為了求控制量的積分，需要假設網格點之間值的變化規律，即假設值的分段分布的分布剖面。從積分面積的選取方法來看，有限體積法屬于加權殘差法中的子面積法；從未知解的逼近方法來看，有限體積法屬于使用局部逼近的離散方法。總之，子區域法屬于有限體積展開的基本方法。

有限體積法的基本思想很容易理解，并引出直接的物理解釋。離散方程的物理意義是因變量在有限控制體積中的守恒原理，正如微分方程表達因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得到的離散方程要求因變量的積分守恒對于任意一組控制體積都滿足，自然對整個計算區域也滿足。這是有限體積法的一個吸引人的優勢。有一些離散方法，例如有限差分法，其中離散方程只有在網格非常精細時才滿足積分守恒，而有限體積法即使在粗網格下也能顯示出精確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視為介于有限元法和有限差分法之間的中間體。有限元法必須假設網格點之間的數值變化（即插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點處的值，不考慮網格點之間的值如何變化。有限體積法只求節點值，類似于有限差分法；但是，有限體積法在求控制體積的積分時，必須假設值在網格點之間的分布，這與有限元法類似。在有限體積法中，插值函數僅用于計算控制體積的積分。得到離散方程后，可以忘記插值函數；如有必要，可以對微分方程中的不同項使用不同的插值函數。

5.近似解的誤差估計方法

近似解的誤差估計方法有三種：單元余量法、通量投影法和外推法。

單元余量法廣泛用于有限元離散誤差估計。它主要估計精確算子的余量，而不是整套控制方程的全局誤差。這樣，必須假設周圍單元誤差不相互耦合，誤差計算是通過逐節點算法進行的。單元殘差法的各種方法主要來自于對單元誤差方程邊界條件的不同處理方法。基于此，該方法可以有效地處理局部殘量，并可以成功地用于網格優化器中。

通量投影法的基本原理來源于一個很簡單的事實：偏微分方程的精確解不能有不連續微分，但近似解可以有微分不連續，所以產生的誤差來自微分本身，即, 誤差是系統的光滑解和非光滑解的差值。該方法與單元余量法一樣，對節點誤差使用能量范數，因此它也可以成功地用于網格優化程序。使用單元余量法和通量投影法。限于局部誤差計算（使用能量范數），不考慮誤差方程的全局特性。此外，計算的可行性（即誤差估計方程的計算時間應小于近似解的計算時間）在這兩種方法中無法體現。由于得到的誤差方程數量較多，其階數與流場的控制方程相同。

外推法是指利用反向數值誤差估計的思想，從精確解中推導出近似解的誤差值。在各種文獻中，外推法常用于估計截斷誤差。無論是低階格式還是高階格式，隨著網絡，由于計算機內存和計算時間的限制，這種無限網格加密的方法在實際中無法使用。所開發的外推方法可用于不同的稀疏網格。可以從密集網格上得到的結果估計出相應的收斂解，估計所用離散方法的截斷誤差的階數，估計得到的數值計算的截斷誤差。這種方法有很大的局限性，不能簡單地用于復雜的湍流。在數值計算中，數值解必須單調地逼近其收斂值。文獻中提出的單網格后向誤差估計思想，用于有限元法FEM和有限體積法FVM，也用于網格優化例程，但該方法不能用于復雜湍流的數值分析任何一個。

6、多尺度計算方法

近年來發展起來的多尺度計算方法包括均勻化法、非均勻化多尺度法、小波數值均勻化法、多尺度有限體積法和多尺度有限元法。

均質化法是一種多尺度分析的方法。該方法通過求解單細胞問題，將微觀尺度上的信息映射到宏觀尺度上，進而推導出宏觀尺度上的均質化方程，從而在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在許多科學和工程應用中取得了巨大的成功，但該方法是基于系數細觀結構周期性的假設，因此應用范圍受到很大限制。

E 等人提出的非齊次多尺度方法。是構建多尺度計算方法的通用框架。該方法有兩個重要組成部分：基于宏觀變量的整體宏觀格式和通過微觀模型對缺失的宏觀數據的估計。通過這兩部分得到多尺度問題的解。

小波數值均勻化方法是由 提出的求解橢圓方程的一種新方法。該方法基于多分辨率分析，在精細尺度上建立原始方程的離散算子，然后對離散算子進行小波變換，得到大尺度上的數值均勻化算子。這種方法可以大規模求解方程，大大減少了計算時間。

多尺度有限元法由等人提出。該方法在宏觀尺度上進行網格劃分，然后通過在每個單元中求解細觀尺度的方程（構建線性或振蕩邊界條件）來獲得基函數。因此，將細觀尺度的信息反映到有限元法的基函數中，使宏觀尺度的解包含細觀尺度的信息。然而，多尺度有限元法在構造基函數時需要大量的計算。

以上介紹了計算機數值計算中常用的幾種方法。了解這些方法的原理及其優缺點，有助于我們加深對數值計算的理解，便于我們在數值計算過程中掌握主動權。