罰函數(shù)法的基本思想是借助罰函數(shù)將約束問題轉化為無約束優(yōu)化問題，然后通過求解一系列無約束優(yōu)化問題得到原約束問題的解。在迭代過程中，懲罰函數(shù)法通過對不可行點施加懲罰來迫使迭代點逼近可行域。一旦迭代點變成可行點直線搜索方法,無約束優(yōu)化方法,約束優(yōu)化方法，這個可行點就是原問題的最優(yōu)解

懲罰函數(shù)可分為外點法和內點法：

等式約束懲罰函數(shù)：

根據(jù)約束的特點直線搜索方法,無約束優(yōu)化方法,約束優(yōu)化方法，構造懲罰項，然后加到目標函數(shù)中，將其轉化為無約束問題

對于以下約束：

構造一個輔助函數(shù)，求輔助函數(shù)的最小值：

σ為懲罰因子，取大正數(shù)，F(xiàn)(x,σ)為懲罰函數(shù)，σP(x)為懲罰項

罰款項目需滿足的條件

原理：當x在可行域內時，沒有懲罰，一般優(yōu)化方法求最小值；當x不在可行域內時，加懲罰使F(x,σ)遠離最優(yōu)解；即σ→∞，若原問題有解，則必定在可行域內，且minf(x)==minF(x,σ)1。外點罰函數(shù)法外點法是從可行域外緩慢逼近邊界，在逼近過程中的每個階段計算極值點，一旦到達可行域，極值點就是原約束非線性規(guī)劃的極值點

1) 方程：

目標函數(shù)：min f(x)

約束集：st hi(x)=0 i=1,2,3,...m

增強為異常值懲罰函數(shù)：

2）不平等：

目標函數(shù)：min f(x)

約束集：st gi(x)>=0 i=1,2,3,...m

增強為異常值懲罰函數(shù)：

3) 混合

2. 內罰函數(shù)法 內罰函數(shù)法是一種保持嚴格可行性的方法。它總是從一個可行點開始，不斷在可行域內搜索。因此，此類方法僅適用于只有不等式約束的非線性優(yōu)化問題。

內部懲罰函數(shù)法的基本思想是在目標函數(shù)上引入一個與約束相關的障礙項。當?shù)c從可行域內部接近可行域邊界時，障礙項將趨于無窮大，迫使迭代點返回可行域。內部，從而保持迭代點的嚴格可行性。然后，將求解約束的問題轉化為求解一系列容易的子問題，從而得到原問題的最優(yōu)逼近解。該方法也稱為內點障礙函數(shù)法。

目標函數(shù)：min f(x)

約束集：st gi(x)>=0 i=1,2,3,...m

增強為異常值懲罰函數(shù)：

μ 是一個非常小的數(shù)字。那么當x接近邊界時，F(xiàn)(x, μ) → +∞，反之，當μ小時，F(xiàn)(x, μ)逼近f(x)。

障礙函數(shù) B(x) 一般需要滿足：

(1) 在可行域內連續(xù)

(2) 當x趨向于g(x)=0的邊界時，B(x) → ∞。

障礙函數(shù)有兩種常見形式：

互易障礙函數(shù)

對數(shù)障礙函數(shù)